「なぜ0で割ってはいけないの？」 数学マニアが中学生にもわかるようにした解説がエレガントすぎると話題に
0による割り算である“ゼロ除算”。電卓で打てばエラーが出るなど、「数を0で割る事」が、数学の世界ではタブーとされています。みなさんは「なぜ0で割ってはいけないのか？」と疑問に思ったことはありませんか。
今回紹介する、chrysanthemumさんは自身が投稿した『なぜ0で割ってはいけないのか？ リンゴの分配から体の公理まで』という動画で、0で割ることについてのいろいろな考え方の紹介と解説を行います。
第一章 0で割っても意味がない！――割り算の意味
早速ですが問題です。
問題「リンゴが6個あります。3人に同じ数ずつ分けると1人分は何個になるでしょうか？」
まずリンゴを用意します。
とりあえず1つずつ分けていきます。まだリンゴが余っているので、もうひとつずつ配っていきます。
ちょうどリンゴがなくなりました。これで3人に同じ数ずつ分けたことになります。というわけで、3人に2つずつ分けるとうまくいくと確認できました。このような問題に対し、普通は
6÷3=2
という数式を用い、
6を3で割った答えは2
などと表現することになっています。
この例をもとに考えると、割り算とは「1人あたりの数量を求める操作」、もう少し一般的に言えば「単位量を求める操作」と言うことができます。
さて、ならば「0で割る」ことについて論じるならばどのような問題を設定すればよいでしょうか。
簡単な例として次のものがあります。
問題「リンゴが6個あります。0人に同じ数ずつ分けると1人分は何個になるでしょうか？」
いろいろな意見があるかと思いますが、「0人に同じ数ずつ分ける」ことに対し、共通の答えを求めるのは厳しいでしょう。なので、0で割ってはならないことにしておくが賢明なのかもしれません。
以上をまとめてみます。割り算とは単位量を求める操作であるという立場をとるならば、0で割ってはならないことにした方がよさそう。
思えば算数というのは、「式の意味」を重要視していたような気もします。もちろん数式の意味を考えることは重要ですが、それにとらわれすぎると、このようなややこしい問題が出てきてしまいます。
まず分かりやすい例で数式の意味を理解しておき、次にその意味を取りはずして改めて数式だけを眺める。そうすれば新たな発見とともに、拡散された概念が生まれてきます。
数式の意味にとらわれすぎると、ややこしい問題が出てくることに、「数式に記号としての意味以上のものなんてない」「数式には意味がないから有用なんだよ」「様々な事物を数式を道具として表現しているだけ」といったコメントが多数寄せられました。
第二章 答えがあったりなかったり――割り算とかけ算の関係
第一章で出てきた数式を改めて確認してみます。
6÷3=2
先ほどはリンゴの画像を用いて、視覚的に説明したわけですが、そんなことでは
2943÷3
といった問題に対応しづらいです。
そこで「6÷3=2」という式をじっくる見てみると
2×3=6
という関係があることに気がつきます。このことから「a÷bの答えは□×b=aを満たすような□のこと」と考えてもよさそうです。それでは早速これを認めた上で「0で割る」ことを考えていきます。
まずは「6÷0」の答えを求めてみましょう。先ほど書いたことから
□×0=6
を満たすような□の数字が答えになるはずです。しかし、
□×0=6
を満たすような□に入る数はありません。なぜなら□にどんな数字を入れようと式の左辺は0になってしまうからです。
となると、「6÷0」の答えは存在しないと言うことができるでしょう。
次に「0÷0」の値を求めます。これも同様に考えると
□×0=0
を満たすような□を見つければよいのですが、この場合、□にどのような数字を入れても等式が成り立っています。
というわけで、「0÷0」はなんでもよい。つまり任意の数ということになります。
以上をまとめると、「a÷bの答えは□×b=aを満たすような□のこと」とするならば、「a÷0(a≠0)は答えが存在しない」、「0÷0は任意の数」ということになります。
これで終わりにしてもいいのですが、不満がある人もいると思います。答えが存在しないというのはともかく、「任意の数が答え」というのは納得いかないかもしれません。
0÷0=0 0÷0=1 0÷0=-2 0÷0=2943 0÷0=π
こういったものすべて正解となるのです。そこで「a÷bの答えは□×b=aを満たすような□のこと」という前提に、次の条件を付け加えておいても良いでしょう。
「ただし答えはただ一つに決定するものとする」
そうすると、「a÷0(a≠0)は答えが存在しない」、「0÷0は2つ以上の答えが存在する」。いずれにせよ答えが1つに決まらないため、0で割ってはいけないことになりました。
ではもう一度まとめ。「a÷bの答えは□×b=aを満たすような唯一の□であるとするならば、0で割ってはならない」
この章では割り算の意味を考えず、単純に数式のみで論じてみました。すなわち割り算とかけ算との関係に言及し、かけ算を利用して結論を出したわけです。
一章と二章では「割り算」自体が異なっていることに注意しておきましょう。それらを全く同じものと考えるのは浅はかといわざるを得ない。「意味」を取り去ることにより、抽象化が行われ、より精密な議論ができるようになったことに注目すべきです。
「a÷bの答えは□×b=aを満たすような唯一の□であるとするならば、0で割ってはならない」というまとめに、「余りがでればこの数式にならんくなるから前提が間違ってる」「余りがでればこの数式にならんくなるから前提が間違ってる」といった意見が寄せられました。
第三章 「1÷0」は無限大――極限あれこれ
前章で0で割ってはならないことを説明してみました。しかし、次のように考えてみるとまた異なった結論を得ることができます。
「1÷1」から始め、割る数を0に近づけていきます。
今のように、割る数を0に限りなく近づけていったときの値を0で割った結果と考えるのは、さほど不自然なことではないでしょう。そこでこの章では「0で割るとは、割る数を限りなく0に近づけていくこと、0で割った値とは、その際の値の行き先」と考えることにします。
今の計算結果を見てみると、値はどんどん大きくなっていきます。このような値の行き先を通常「無限大」と呼び、∞という記号を使ったりします。それでは「1÷0=無限大」としてよいのでしょうか。
次は1÷(-1)から始め、割る数を0に近づけます。
この例だと、答えは限りなく小さくなっていきます。これは通常「マイナス無限大」と呼ばれます。では、次の例だとどうなるでしょうか。
割る数に-0.1をかけていきます。
この例だと、答えの絶対値が無限大に近づくことは分かりますが、それ以上のことは分かりません。割る数を0に限りなく近づけていく操作を「0で割る」ことと考えると、まずは以上のような結論が得られます。
しかし、これで終わりではありません。さらに重要な問題があります。すなわち「0÷0」についてです。
先ほどと同様に考えてみることにします。
ということで、「0÷0=0」として問題なさそうですが、そう簡単にはいきません。いくつかの例を続けて表示します。
以上のように「0÷0」に関しては、割る数、割られる数の0への近づけ方を変化させることにより、さまざまな値をとることが分かりました。実際、任意の値をとる、ということは容易に確認できるでしょう。
まとめに入ります。割る数を限りなく0に近づけていく操作を「0で割る」ことと考えるなら、「a÷0(a≠0)の絶対値は無限大」、「0÷0は無限大含め任意の値」となる。
一応結論は出しましたが、この後はさらに専門的な証明の段階に入っていきます。
割る数、割られる数の0への近づけ方を変化させることにより、さまざまな値をとることが分かり、「a÷0(a≠0)の絶対値は無限大」、「0÷0は無限大含め任意の値」となるという結論に、「分母分子を関数と考えたら当然の帰着」「整数は無限にあるもんな」「よく0の概念なんてもんが生まれたな…」「さっきと同じで解が一つにならないね」「正義ってなんだ？とかと似てる気がする。答えがないっていうかなんていうか…」といった様々なコメントが寄せられました。
0で割ることについての解説をノーカットで楽しみたい方はぜひ動画をご視聴ください。
▼動画はこちらから視聴できます▼
『なぜ0で割ってはいけないのか？ リンゴの分配から体の公理まで』
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